APORTES

Los Griegos y sus Aportes a las Matemáticas

Los fundamentos básicos de la matemática moderna se establecieron en la antigua Grecia. Los principios lógicos básicos utilizados para la deducción de la ciencia y las matemáticas modernas fueron sistematizados por Aristóteles en sus escritos sobre la "lógica silogística". Los griegos fueron los primeros en estudiar las leyes generales y principios matemáticos más allá de la resolución de problemas prácticos y los primeros en profundizar en las matemáticas abstractas. Los griegos también desarrollaron los principios de la demostración matemática

Los griegos aportaron numerosos e importantes filósofos, como Tales, Pitágoras, Euclides, Arquímedes entre otros. En esta época las matemáticas alcanzo ya su madurez como ciencia.

Las matemáticas  aquí ya eran avanzada por los babilonios o egipcios, aun por los griegos, ahora se iban a dedicar era a la parte práctica de medir, construir, contar...la ciencia ya era más estructurada, racional y demostrable por medio de propiedades.

En la escuela de Jónica de Tales de Mileto;  Se le conoce como el padre de las matemáticas, astronomía y la filosofía griega .Fue considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia.

Se comienza el estudio científico de la geométrica y las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Entre sus aportes matemáticos se tiene:

“El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto”
“Lo ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales”
"Si dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales”.
“todo diámetro divide al círculo en dos partes iguales”.
“Toda recta paralela a uno de los dos lados de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales
Nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del Dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado. El  Teorema de Pitágoras  dice: "En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos." 

Los pitagóricos forman un grupo de 4 disciplinas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. Además que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios.

También se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables",  como  , que no eran ni enteros ni fraccionarios.
Números triangulares. Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los de la figura siguiente:

Números cuadrados. De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados como en la figura siguiente

Números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3.

Euclides, geómetra griego más conocido aunque no el matemático más original. Su obra los elementos es la obra maestra geométrica  de Euclides, analiza  la geometría del plano y algunos aspectos de la geometría del espacio, otras obras como La división de figuras, Los Datos, Los fenómenos y la Óptica. La primera escuela de Alejandría

Euclides, siendo su obra más importante los elementos, cuyo contenido y estructura se ha estudiado en las escuelas y universidades hasta hace muy poco, y fue trascendental en el desarrollo de la geometría.

El punto culminante es la demostración  de que hay exactamente 5 sólidos  regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Las formas básicas permitidas   en geometría  plana son rectas y círculos a veces en

combinación., por ejemplo un triángulo está formado  por tres líneas rectas. En geometría espacial encontramos planos, cilindros y esferas.

Lo importante es su estructura lógica y la demostración; siendo la demostración una especie de historia matemática,  en la que cada paso es una consecuencia lógica de algunos de los pasos previos. Cada enunciado  que se afirma tiene que justificarse  haciendo referencia a enunciados previos  y demostrando que  es una consecuencia lógica de ellos.

La Segunda  Escuela de Alejandría en la que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (con sus grandes investigaciones aritméticas) y Pappus (con su obra "Colección").

Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. 

En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas.

"...pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación." (Plutarco)

Aunque todo el anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhaución de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

Arquímedes determinó el volumen de una esfera

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidió a sus amigos y parientes que, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribiéndola en la proporción del sólido continente respecto al contenido; esto es, la razón 3:2"
(Plutarco, Vidas Paralelas)

Algunas de sus obras más importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planos
Donde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parábola
Demuestra que: "Una sección de parábola excede en un tercio al área del triángulo de igual base que la sección y cuyo vértice es el de la parábola". Dicho de otra forma, la superficie de la sección de parábola es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Método (Sobre el método relativo a los teoremas mecánicos)
Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teoría de las razones y de las proporciones entre magnitudes geométricas y sobre todo el método de exhaución de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindro

El resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la esfera a partir del volumen del cilindro.

5) Sobre espirales

Un estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree que el objetivo que se perseguía era resolver alguno de los grandes problemas de la época, como la cuadratura del círculo o la trisección de un ángulo

6) Sobre los conoides y esferoides
Estudio sobre las figuras geométricas que se obtienen al hacer girar las cónicas.

7) Sobre los cuerpos flotantes
Estudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Hierón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka! (que en griego significa "Lo encontré")

8) Sobre la medida del circulo

Donde encuentra la fórmula para el área de un círculo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número pi inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. La acotación que encontró fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

Aproximadamente       3'140845... < pi < 3'142857

9) El Arenario

En el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caber en el Universo) y desarrolla un sistema de numeración con el que se pueden representar tales magnitudes. No olvidemos que el sistema de numeración indo-arábigo no era conocido todavía en la cultura occidental.

Estos descubrimientos abrieron el camino a la mecánica y al cálculo integral.

En occidente la huella de la cultura griega fue casi inexistente durante muchos años. El interés de los romanos por las matemáticas griegas se redujo a las aplicaciones prácticas de las mediciones de terrenos y cálculos y las obras griegas no se tradujeron al latín. Fue el mundo árabe el que recogió el testigo de las matemáticas griegas.

Escuela Eleática

Principal representante Zenón de Elea

•          El tiempo como suma de instantes

•          Aporto a las matemáticas recursos de orden técnico, metodológico y lógico

•          Su proceso dicotómico se usa para la demostración y el método de reducción al absurdo es una consecuencia del principio de contradicción eje de sus raciocinios

•          Desecha la concepción monadica de los pitagóricos

Argumento dicotómico.

 “El movimiento es imposible en efecto para que un móvil pueda recorrer una distancia dada, antes deberá haber recorrido la mitad de ella, yantes de recorrer dicha mitad habrá tenido que atravesar la cuarta parte de la distancia dada, y antes de cubrir dicha cuarta parte deberá haber atravesado la octava parte de la distancia dada, etc. Es obvio que retrocediendo de este modo, el móvil nunca iniciará el movimiento

La Academia

Principal representante Platón sus aportes

Método de demostración analítico

Una solución de la ecuación pitagórica

El problema de la duplicación del cubo

Escuela de Cicico

Teoría de la proporcionalidad

“Dos magnitudes tienen razón mutua cuando se puede encontrar un múltiplo de la menor que excede a la mayor   

Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que

La de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier múltiplo de la

Primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, según que el de la tercera

Sea mayor, igual o menor que el de la cuarta

Método de exhaucion

 Es un método de demostración equivalente a una doble reducción al absurdo, según el cual “para demostrar que una cantidad A es igual a una cantidad B o que una figura A es equivalente a una  figura B, basta probar que A no puede ser ni mayor ni menor que B”.

Se fundamenta  el teorema de Eudoxo

El teorema de Eudoxio (370 a. de C.),

 Dice que todo prisma triangular puede descomponerse en tres tetraedros o pirámides equivalentes. Para ello se secciona el prisma por dos planos que pasen por un vértice de una base y por dos vértices de la base opuesta que no están en la misma arista lateral. Esto sirve para determinar el volumen de un tetraedro o pirámide triangular, que es equivalente a la tercera parte de un prisma triangular de igual base y altura. Esta propiedad se extiende al resto de las pirámides siendo sus volúmenes igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.

Eudoxio       Fue discípulo de Arquitas de Tarento. Su trabajo sobre la teoría de la proporción denota una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no únicamente de los números entero o números racionales. Cuando esta teoría fue resucitada por Tartaglia y otros estudiosos en el siglo XVI se convirtió en la base de cuantitativas obras de ciencias durante un siglo, hasta que fue sustituida por los métodos algebraicos de Descartes.

Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito^[7] Para demostrarlo elaboró el llamado método de exhausción,^[] antecedente del cálculo integral^[

para calcular áreas y volúmenes. El método fue utilizado magistralmente por Arquímedes. El trabajo de ambos como precursores del cálculo  fue únicamente superado en sofisticación y rigor matemático por Newton y Leibniz.

Una curva algebraica lleva su nombre, la campila de Eudoxo

Escuela de Alejandría

En esta etapa la matemática griega se caracterizó por su autonomía respecto a la filosofía, es la etapa donde se llega a un esplendor máximo. Se creó muchos centros de investigación como en Alejandría, Bérgamo y Rodas siendo sus máximos representantes Euclides, Arquímedes y Apolonio. Con la muerte de Alejandro se modifica el ámbito territorial   de  Grecia, sin embargo en el campo cultural se vivió una expansión por oriente de los conocimientos, esto debido al derrumbe del imperio Persa. Atenas perdiendo su importancia política pierde, a su vez, la supremacía cultural. A la par surgen otros focos culturales al oriente de Grecia. Uno de estos focos es Alejandría. En esta etapa las escuelas de filosofía y medicina se multiplican y las diferentes ciencias como la matemática, astronomía, geografía, mecánica cobran

Independencia y personalidad. En Alejandría se construyen bibliotecas y museos, siendo la primera una de las más reconocidas hasta la actualidad, donde centenares de sabios y estudiosos

Enseñan, trabajan e investigan. A su vez se levantan observatorios para estudiarlos fenómenos “celestes”. En este ambiente, científicos de Alejandría se vinculan directa e indirectamente, entre ellos las tres figuras máximas de la matemática antigua: Euclides, Arquímedes y Apolonio

Un poco más sobre Euclides  podemos resumir sus postulados

 Los postulados de Euclides:

1. Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro punto  cualquiera.

2. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.

3. Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado con que están los ángulos menores que dos rectos comunes

Los dos primeros postulados establecen la existencia de la recta determinada por dos puntos.

El tercer postulado establece la existencia y la unicidad de una circunferencia dado su centro y su radio.

Los primeros cuatro postulados admiten la existencia de rectas y circunferencias.

El quinto postulado fija las condiciones para que dos rectas determinen un punto, cuya unicidad se complementa con una noción común

Nociones comunes

 1. Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí.

2. Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los restos son iguales.

3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los resulta dos son iguales.

4. Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los resultados son desiguales.

5. Las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre sí.

6. Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí.

7. Las cosas que se pueden superponer una a la otra son iguales entre sí.

8. El todo es mayor que la parte.

9. Dos rectas no comprenden un espacio. (Esta noción complementa la unicidad del punto).

10. Se observa que para los griegos la geometría estaba constituida esencialmente por el punto, la recta y la  circunferencia.

Apolonio de Bérgamo

Apolonio nació en Bérgamo alrededor del año 202 a.C. y falleció el 190 a.C.

Estudió en Alejandría siguiendo la tradición de Euclides y escribió ocho libros, de

Los cuales lo primeros cuatro abarcan la Teoría General de las Cónicas y sus

Propiedades más importantes, son los únicos sobrevivientes del texto original. En

Cambio los otros cuatro se refieren a propiedades especiales y pueden

Considerarse como monografías-

En sus obras sobre las cónicas introduce el nombre de parábola, hipérbola y

Elipse a las secciones del cono. También se le atribuye la invención del reloj solar

Y es uno de los precursores de los descubrimientos astronómicos.

Además de las cónicas, su obra máxima, se le atribuye otros escritos científicos

de los que se tiene noticia a través de los comentarios y posteriores, en especial a Pappus.

Otros escritos de Apolonio (colección de problemas)

• Sobre las secciones de razón.

• Sobre las secciones determinadas.

• Sobre las secciones del espacio.

• Problemas relacionados con lugares geométricos.

Los griegos clasificaban los lugares geométricos en tres tipos:

Lugares planos

---

 Rectas y circunferencias.

Lugares sólidos

---

 Sólidos.

Lugares lineales

---

 Cónicas y otras líneas.

El atribuido a Apolonio fue el de lugares planos y otro denominado de De Las

Inclinaciones (estudiaba los problemas de inserción) y Sobre Los Contactos

(Estudiaba numerosos casos particulares de un problema generalizado, que se

Conoce actualmente con el nombre de “Problema de Apolonio y que consiste en

Encontrar una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas.

Por último, se le atribuye, también, los escritos sobre los Elementos de Euclides,

Esto sobre los poliedros regulares, sobre la cuadratura del círculo, sobre un

Sistema de numeración, y una solución del problema de Delos (o problema de la

Duplicación del cubo).

Tolomeo

Nació alrededor de 85 d. C. en Egipto y murió alrededor de 165 d. C. en

Alejandría, Egipto.

Vivió y trabajó en Alejandría, Egipto (se cree que en la famosa Biblioteca de

Alejandría). Fue astrólogo y astrónomo, actividades que en esa época estaban

Íntimamente ligadas. Es autor del tratado astronómico conocido como Almagesto

(El gran tratado). Se preservó, como todos los tratados griegos clásicos de ciencia

En manuscritos árabes (de ahí su nombre) y sólo disponible en la traducción e

latín de Gerardo de Cremona en el siglo XII.

Heredero de la concepción del Universo dada por Platón y Aristóteles, su método

De trabajo difirió notablemente del de éstos, pues mientras Platón y Aristóteles

Dan una cosmovisión del Universo, Ptolomeo es un empirista. Su trabajo consistió

En estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los

Planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas

Posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras.

Ptolomeo catalogó muchas estrellas, asignándoles un brillo y magnitud,

Estableció normas para predecir los eclipses.

su aportación fundamental fue su modelo del universo: creía que la tierra estaba

Inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las

Estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante la técnica del epiciclo-

Deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio, trató de resolver con bastante

Éxito los dos grandes problemas del movimiento planetario:

1.- la retrogradación de los planetas y su aumento de brillo, mientras

Retrogradan.

2.- la distinta duración de las revoluciones siderales.

Sus teorías astronómicas influyeron en el pensamiento astrónomo y matemático

Científico hasta el siglo XVI.

Aplicó sus estudios de trigonometría a la construcción de astrolabios y relojes de

Sol. Y también aplicó el estudio de la astronomía al de la astrología, creando los

Horóscopos. Todas estas teorías y estudios están escritos en su obra Tetrabiblon.

Fue también un buen óptico y geógrafo. En el campo de la óptica exploró las

Propiedades de la luz, sobre todo de la refracción y la reflexión. Su obra Óptica es

Un buen tratado sobre la teoría matemática de las propiedades de la luz. Otra

Gran obra suya es la Geografía, en que describe el mundo de su época. Utiliza un

Sistema de latitud y longitud por lo que sirvió de ejemplo a los cartógrafos

Durante muchos años.

El mundo de la música tampoco fue ignorado por Ptolomeo. Escribió un tratado

de teoría musical llamado Harmónicos. Pensaba que las leyes matemáticas

Subyacían tanto los sistemas musicales como en los cuerpos celestes, y que ciertos

Modos y ciertas notas correspondían a planetas específicos, las distancias entre

Estos y sus movimientos.

Publicado por: Ciany Nelson